续变化的速度运动着。类似的，按照伽利略的理论，靠近地球表面的物体的上升和下落，在其运动过程中的速度也连续变化……而用平均速度的方法，我们得不到瞬时速度，因为在一瞬间，物体运行的距离是0，所花的时间也是0，而0除以0无意义。”我们要实现对炮弹的完全掌握，还需要了解炮弹在具体某个位置的瞬时方向、瞬时速度、加速度。当然其中最基本的就是瞬时方向。飞行的炮弹的行进方向时时刻刻都在变化，在任何一个时刻都不相同，从上面的能够推导出来的公式根本无法描述这一变化。对方向的理解是数学家罗伯佛尔（gpderoberval，法，1602～1675）提出的。他指出“曲线的切线和运动物体的行进方向一致”。也就是说我们能够通过画出抛物线上任何一个点的切线，而这条切线就是该点的运动方向。而画切线，这是我们能够做到的，只是能够做到这一步，依然无法走下去。因为就算我们能够画出无数的切线，却依然无法分析出什么东西来，我们需要的是再一次的对这条切线进行数学分析。
最后就是用数学公式描述切线。所谓“引切线”，是“用数学公式来表示切线”。在坐标系中，能够做的就是用相应的倾斜度（“斜率”）来表示切线。这和我们现实中谈“坡度”是一样的，一个山坡陡峭还是平缓，可以通过山坡的海拔高度和地面距离的比率来衡量。如图15：要衡量ab和ac倾斜的程度，就可以分别计算ad与bd的比值，ad和cd的比值。如果ad长度是1，cd长度是2，bd的长度是4，我们就可以知道1/4小于1/2，ab比ac的斜率（倾斜度）要小。
222牛顿的微分思路在17世纪，还没有一种能够计算曲线的切线的斜率的通用方法。牛顿找到了对切线进行数学分析的方法。而这一方法的关键在于他把抽象的东西，把抛物线做了一点点形象化：“可以把在纸上画出的曲线和直线看作是一个很小的点随时间移动而留下的轨迹”。前面我们在抽象的过程中，其实也把动态的东西静态化了，而现在我们要研究静态的抛物线中的动态变化，就需要一点点动态的形象思维；而这点被牛顿抓住了。
牛顿是利用动点沿曲线移动的速度来计算切线的斜率。他把动点这种速度称为流数（所以牛顿称微积分为“流数法”）。首先考虑的是具体的一个点，这样不仅是抛物线，任何变化曲线，都可以这样来考虑；任何运动轨迹都可以借这一方法来分析：如图16，假定在曲线上移动的一点在某个时刻位于“点a”，紧接着，经过“[6]”的瞬时时间，它从“点a”移动了一段极短的距离来到“点a′”。该动点虽然是在曲线上运动，但因为移动的距离很短，所以可以把运动的轨迹a-a′看作直线。牛顿将此动点在x轴方向的行进速度表示为“”，在y轴方向的行进速度表示为“q”。这样一来，根据，这个动点在轴方向移动的距离为“”，在轴移动的距离为“”。这样一来，线a-a′的斜率就是。[7]这样不仅运用了斜率，而且引入了速度。
运用这样的方法，我们就可以计算其他切线的斜率，而且能够从直接描述运动轨道的函数得到描述速度的函数。比如计算函数“”上经过任意一点的切线的斜率，已知道斜率为，现在我们必须把斜率与具体函数联系起来，才可以用来计算具体的运动曲线。设任意点为a，而借助函数中与的关系，我们可以得到其坐标为a，那么它经过瞬时到达点a′的坐标就是。因为点a′仍然在该函数曲线上，所以我们可以把这个坐标值，再代入原来的函数，可以得到这样的关系，运用公式分解前式，可以得到，等式前后都减去，并除以，就可以得到，由于无限小，所以可以忽略，于是就可以得到答案。这样斜率与的对应关系就建立起来了。如果以斜率建立一个新函数，那么就是。也就是说函数上任意一点的切线的斜率都可以用函数来表示，而且这样表示出来后，就可以迅速地计算任何一点的斜率。
这样我们无须重复进行复杂的计算，只需要给出曲线上任意一个点，我们就可以马上得到其斜率。在概念上，我们把新函数叫做“导数”，求导数叫做“对函数进行微分”。运用这样的方法，我们就可以对其他一些函数进行微分。利用导数快速地分析物体的瞬时运动。这一切都有赖于牛顿“动点”的理解。当然，到了这里，我们依然无法像分析匀速直线运动那样处理曲线运动，这还需要更多的工作。
223帕斯卡求积思路至于积分，以帕斯卡的求积方式来理解最简单易懂，因为帕斯卡沿用了“穷竭法”的思路，而且“他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法（1654年），这种思想对莱布尼茨和牛顿有很大影响”[8]。帕斯卡在计算以曲线y=x2为一边的曲边三角形面积时，把由曲线y=x2，x轴和直线x=a（相当于在曲线上取任意一点，作垂直于x轴的线，该点的横坐标为a，当然按照函数公式可以计算出其纵坐标为a2）围成的图形的底分成n等分，于是得到n个矩形（如图17），他称这些矩形为“无穷小矩形”（画图中为了清楚表示矩形而显得与曲线包含面积有巨大的差距，其实这些矩形理解起来几乎就是一条条直线）。因为是均分的，所以每个矩形的底都是d，而每个矩形的高，都可以由y=x2计算出来。这样每个小矩形的面积都可以计算出来，把这些小矩形的面积加上来就获得了接近曲边三角形的面积。这个面积计算开来就是…，将这一公式继续简化，可以得到…，而，所以。帕斯卡认为，充分大时，可以略去，于是可以得到。因为是任意的，而且与轴对应，所以可以建立新的函数，就是。而它就是函数的积分函数，称之为“原函数”。也就是说，现在，只要知道任何一个点a，都可以迅速得到曲线到达该点时扫过的面积。他还用这一方法，计算出一般曲线轴和直线所围成的曲边梯形面积为，这个结果已经和现代积分的结果相同，只是他没有解释清楚为什么略去诸如和这样的项，也没有得出一般的积分法则。而这样的工作将由牛顿他们来完成。
牛顿对于积分具体推演过程相对比较复杂，但是可以知道的是和他思考微分相应，他把线看成是运动的点走过的轨迹，而面是移动的直线形成的。这个也是他的过人之处，不仅把静态的动态化，把抽象的形象化；而按照欧几里得的概念，再多的点要形成线，再多的线要形成面，都是不可能的。可见，定义对于思维的巨大影响。
这里，我们可能注意到两个问题：一、求积分的用途只在于计算曲线扫过的面积，它与微分有什么关系；二、积分对于曲线运动的分析有什么意义。这两个问题的解决其实关键就在明确微分与积分的关系。
224微分和积分是逆向运算对于牛顿发明微积分的基本过程，理查德o韦斯特福尔这样描述：牛顿从他读过的大师的著作中选出了两个中心问题，用新分析法来表述：给曲线画切线，求曲线下的面积。从笛卡尔的《几何学》，牛顿发现了在定点给曲线画切线的一种方法，就是在此点找出该曲线的法线，它垂直于切线。牛顿很快掌握了这一方法，以他典型的方式用模拟方程记下了通用式。他的第一步成功就是将笛卡尔的方法延伸到求曲率中心——用他的术语讲就是“曲度”——随后是求最大和最小曲率点。求积时，他主要是依靠在约翰o沃利斯著作中发现的无穷小法……他超过其良师的第一个重要成就是：沃利斯曾用无穷级数计算面积，牛顿将之发展成我们今天所知的二项式定理，牛顿几次都把这一成就的完成期定在1664～1665年冬天……牛顿的运算不断地用图式表现出来。对求积，则为。如果不用这一方式，“是否可以求出另一条曲线的积呢？”1665年春，牛顿开始严肃地探索新途径的可能性，他把自己在确定切线时观察到的图式和类似但逆向的求积图放在一起比较……他得到了回报；发现了微积分的基本原理。切线和求积之间的关系突然被发现了，是逆关系。[9]从韦斯特福尔的描述中，我们可以知道牛顿先将研究的对象直观化，变成更容易看出问题的图式；并运用比较的方式去探讨问题，发现了微分和积分的互逆关系。牛顿在1711年出版的《运用无穷多项方程中的分析学》中，给出了求瞬时速度的普遍方法，阐明了求变化率和求面积是两个互逆问题，从而揭示了微分和积分的联系[10]。具体理解其互逆关系，其实不难：既然是点运动成线，线运动成面；那么把点看成无限小的线段，把线看成无限窄的面，它们的互逆关系自然也容易理解。
而且“在《两种新科学》[11]一书中，伽利略……证明了在时间—速度曲线下的面积就是距离。”所以，很自然地，牛顿或者其他人，早晚会发现这一个逆向对应。而如图18所示，这样的逆向，打破了我们以往只能够作到的“在匀速直线运动过程中，或者以平均速度作为计算时，利用速度、时间、位置中两个数量推算第三个”的限制。即使是变速运动，只要是恒加速运动，我们就可以以其中一个量得到其他的任何两个数量。当然，这要运用到的就是这个互逆关系。我们可以这样理解：在描述运动速度的曲线上，点的变化反映出加速度的产生，所以对速度曲线的微分就可以得到加速度；而在描述运动距离的曲线上，点的变化反映出速度的产生，所以对距离曲线的微分就可以得到速度。换过来，加速度每秒扫过的面积就是速度；而速度每秒扫过的面积就是距离；所以加速度的积分就是速度，速度的积分就是距离。
而上面的内容就是微积分最有意义的内容了，有了它，结合牛顿力学，我们不仅可以计算地球上的运动物体在未来的位置或速度，甚至还可以推测在宇宙空间运动的天体在未来任何时刻的位置或速度。哈雷正是运用了这套方法，才准确地计算出哈雷彗星的回归；而这也彻底地推翻了人类对于天体的迷信，建立起人类对于自身理性的信念。所以，恩格斯才会说：“在一切理论在就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩，那就正是在这里。[12]”
从微积分又一次可以看出，数学中的对应关系。而且在创造它们的过程中，主要运用的是抽象、形象思维，几何与代数的对应变换。
23微积分的后续工作韦斯特福尔还提到一个问题：沃利斯把面积看成是各个微元的静态相加；而他现在用的是动态处理，就像是一条线扫过这个面积。牛顿的切线方法是以微元为基础的，对此他一直感到不安……连续变化运动的概念凭直觉似乎可以克服除不尽的数的间断性，牛顿从未停止过对它的思考[9]。
可见，沃利斯的方法同我们用来理解积分所使用的帕斯卡的方法相似，牛顿使用“连续变化运动的概念”虽然直觉上可以比之更好克服“间断性”问题，但其实依然无法回避“无穷”的难题——凭什么说，“无限小”能够“走”出“有限大”的距离来。而且这里，已经加入了“绝对时间”的观念。
也就是说，微积分最重要的就是利用了一个“无穷”的概念。这个概念用得很巧妙，却有着根本的问题。这一问题就引出了第二次数学危机。再一次让数学家对于数学的基础和完全性进行反思。
随着实践和理论的发展，数学家需要不断完善方法。林群认为：“它（微积分）很完美，但并非天衣无缝、不可商量，它的聪明解法（例如牛顿-莱布尼兹公式）偶尔会有，但大多失灵。需要发展‘笨’办法，要有普适性，这就是算法加计算机，它是由冯o诺依曼等发明的，已经逐渐成为当今解决科学与工程问题的第三手段（其他两种手段指科学的理论和实验）。[13]”也就是说，数学要与现实世界联系起来，需要“巧”和“拙”的结合，才是最有效的。再伟大神奇的方法，仍有缺陷，仍需要新的补充。而作为补充的“拙”——计算机，到头来也是出自于数学家们对于“完美”的追求，在解决数学危机中的“意外”成果。
注释：[1]转引自《leibniz如何想出微积分？》蔡聪明《数学传播》十八卷第三期[2]《世界数学史》杜石然孔国平主编吉林教育出版社2009[3]《西方文化中的数学》[美]莫里斯o克莱因（orriskle）著张祖贵译复旦大学出版社2005[4]相近的还有达尔文和华莱士发现“进化论”，爱因斯坦与物理学家弗利茨o哈泽内尔（fritzhasen”ohrl，奥地利）发现质能方程，牛兰兹和门捷列夫发明元素周期表，贝尔与安东尼奥o梅乌奇发明电话。
[5]为了能够理解微积分背后的思维，尽可能地寻找最简单的理解方法，这部分内容整合了《科学世界》和《世界数学史》中的具体推演思路，对于微积分的具体发明思路进行简单的分析。《科学世界》2011年第4期《微积分o最伟大的数学成就》王鸣阳翻译科学出版社[6]希腊字母，读作“奥米克戎”。
[7]这里我们既可以看到代数的奥妙，先用符号来代替实际的变量，根据数量之间的变化关系和运算法则，在具体地运算中，进行简化，最终找到出乎意料的结果。又可以看到对于瞬时速度的借用，既使用了它简化了问题，又不会因为引入它而增加任何麻烦，这与中国传统数学中解决“借驴分驴”的问题（三兄弟分十一头驴，老大二分之一，老二四分之一，老三六分之一。必须先借一头驴，分后还回这头驴）体现的智慧是一样的。
[8]这里引用《世界数学史》中的理解来说明，具体一些符号，为了与前面对应，而且更清楚，稍作了调整。
[9]引自《牛顿传》理查德o韦斯特福尔（richardwestfall）著郭先林等译中国对外翻译出版公司2001[10]转引自《科学技术发展简史》王士舫董自励编著北京大学出版社2005[11]全名是《关于两种新科学的论述与数学证明》，disursesandatheaticaldeonstrationsncerngonewsciences，1634。转引自《世界数学史》[12]《恩格斯自然辩证法》于光远等编译人民出版社1984[13]《让微积分飞入寻常百姓家》林群，《科学世界》2011年04期科学出版社
作品相关介绍 一3 3完全性的追求——从康托尔到哥德尔
31用一个案件来理解数学史黑泽明的著名电影《罗生门》（rashoon，日，1950），说的是案件因为有了各种主观意识的交错，所以无法找到真相。张艺谋的《三枪拍案惊奇》也讲案件，说的是因为有了各种不同目的的驱动，所以除非存在着一直在旁观的上帝，否则没有人能够知道真相。现实世界里的案件也是如此的，《宋史o欧阳修传》中载：“（欧阳修）方贬夷陵时，无以自遣，因取旧案反覆观之，见其枉直乖错不可胜数，于是仰天叹曰：‘以荒远小邑，且如此，天下固可知。’”一个小地方的案件都错乱不堪，何况天下的其他。幸好还是有欧阳修这样坚持的人，这个世界的法律秩序才不会被破坏。
齐民友这样概括数学的特点：追求一种完全确定、完全可靠的知识；不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本；不仅研究宇宙的规律，也研究它自己；会怀疑自己整体，考虑自己的力量界限何在；总之，数学是人类理性发展最高的成就之一[1]。其实，数学家对于真理的追求，就像优秀的法官、律师、警察一样对于真相的执着。所以我们不妨结合这样的比喻来看看数学家是如何追求数学的完全性的。
对于经验科学来说，“定律”只要是从实践中归纳出来，并且经得起时间的检验就行。比如“摩尔定律[2]”——一个芯片产生后的18个月内，就会有新芯片产生，而且新芯片的容量是前者的两倍。这个定律，自英特尔微处理器公司创始人之一戈登o摩尔（gordonoore）1965年提出以后，经验证一直是正确的。尽管我们都知道这样的“